Выпуклость облигации
Выпуклость облигации (Convexity) — это мера того, насколько нелинейно цена облигации реагирует на изменение доходности. Математически она равна второй производной цены по доходности, отнесённой к цене, и показывает кривизну связи между ценой и доходностью.
Дюрация оценивает эту связь линейно и работает только при малых сдвигах ставок. На больших движениях прямая линия расходится с реальной кривой цены, и выпуклость добавляет поправку, которая эту ошибку исправляет. Сама связь цены и доходности выпуклая: при снижении доходности цена растёт сильнее, чем падает при таком же росте доходности.
Почему одной дюрации недостаточно
Цена облигации и её доходность движутся в разные стороны, но не пропорционально. График этой зависимости не прямая, а изогнутая кривая. Линейная оценка описывает наклон кривой в одной точке, то есть касательную к ней. Пока доходность меняется на десятые доли процента, касательная и кривая почти совпадают, и линейного приближения хватает.
На большом сдвиге ставки касательная начинает заметно врать: она недооценивает рост цены при падении доходности и переоценивает падение цены при её росте. Ошибка всегда направлена в одну сторону, она занижает реальную цену, поэтому поправка на выпуклость всегда прибавляется. Полное изменение цены раскладывается на два слагаемых по формуле разложения в ряд Тейлора:
Первое слагаемое даёт вклад дюрации, линейную часть движения.
Второе слагаемое даёт вклад выпуклости, поправку на кривизну.
Изменение цены оценивают как «минус модифицированная дюрация, умноженная на сдвиг доходности, плюс половина выпуклости, умноженная на квадрат этого сдвига». Второе слагаемое всегда добавляет цене, потому и говорят, что положительная выпуклость выгодна держателю. Вместе дюрация и выпуклость дают точность, которой хватает для большинства задач управления облигационным портфелем.
Положительная и отрицательная выпуклость
У разных бумаг кривая цены изгибается по-разному, и от направления изгиба зависит выгода инвестора.
Большинство классических облигаций обладают положительной выпуклостью. Возьмём длинную ОФЗ: при снижении доходности на 2 процентных пункта её цена прибавит, допустим, 17%, а при росте доходности на те же 2 пункта потеряет только около 14%. Эта асимметрия в пользу держателя и есть эффект выпуклости. Отрицательная выпуклость возникает там, где у эмитента есть право досрочного выкупа: при падении ставок он гасит выпуск по заранее заданной цене, и рыночная цена не может подняться выше неё. Ярче всего это видно на ипотечных облигациях: когда ставки падают, заёмщики массово рефинансируют кредиты, деньги возвращаются инвестору раньше срока, и он вынужден вкладывать их заново уже под низкую ставку.
Когда выпуклость имеет значение
Выпуклость это уточнение второго порядка, и на коротких бумагах ею обычно пренебрегают. Её вес определяют несколько факторов:
Срок до погашения: чем длиннее бумага, тем сильнее изгибается кривая цены, и выпуклость растёт с ускорением.
Масштаб движения ставки: на сдвиге в десятые доли процента поправка ничтожна, на двух-трёх пунктах существенна.
Структура выплат: при равном сроке выпуклость выше у бумаг с редкими купонами, а у бескупонной облигации она максимальна, потому что весь поток приходит одним платежом.
Наличие колл-опциона: право досрочного выкупа делает выпуклость отрицательной и ограничивает рост цены.
Выпуклость, как и дюрация, измеряется в годах и для обычных облигаций всегда положительна. Представим два выпуска с дюрацией 5 лет: у первого выпуклость ниже, у второго выше. При скачке доходности на 3 пункта второй выпуск потеряет меньше и вырастет больше, и разница доходит до процента-двух цены. Поэтому при равной дюрации инвестор предпочтёт более выпуклый выпуск. На этом же свойстве строят портфельные конструкции, например «штангу» из очень коротких и очень длинных бумаг, у которой выпуклость выше, чем у портфеля из средних выпусков. Преимущество не бесплатно, рынок закладывает его в цену, и более выпуклые бумаги стоят чуть дороже. У портфеля выпуклость считается как средневзвешенная выпуклость входящих в него облигаций, поэтому управляющий целенаправленно повышает её, добавляя длинные выпуски перед ожидаемым снижением ставок. Именно из-за выпуклости покупка длинных облигаций накануне разворота работает лучше, чем предсказывает одна дюрация: реальный рост цены оказывается больше расчётного. На этом же принципе строят иммунизацию портфеля, подбирая бумаги так, чтобы стоимость активов и будущих обязательств одинаково реагировала на сдвиг ставок.
Практический итог
Выпуклость показывает то, что линейная оценка упускает: на больших движениях ставки цена облигации играет в пользу держателя.
Параметр важен для длинных облигаций и разворотов денежно-кредитной политики. Когда Банк России держит ставку на высоком уровне и рынок ждёт снижения, длинные ОФЗ с высокой выпуклостью дают асимметрию в пользу инвестора: при снижении доходности они прибавляют в цене быстрее, чем потеряли бы при таком же росте. На горизонте одного-двух дней разрыв между линейной оценкой и реальной ценой обычно в пределах погрешности, но на горизонте месяцев и при активных действиях ЦБ он становится ощутимым. Считать выпуклость вручную не нужно, её показывают облигационные калькуляторы МосБиржи и Cbonds рядом с дюрацией. Инвестору-физлицу достаточно помнить ориентир: у длинных ОФЗ и корпоративных выпусков без оферты выпуклость положительная и играет на его стороне, а у бумаг с колл-опционом или офертой на выкуп со стороны эмитента она может обернуться против него. Из двух бумаг с одинаковой дюрацией более выпуклая почти всегда предпочтительнее.
