Ковариация
Ковариация (Covariance) — это статистическая мера, которая показывает направление и степень совместного изменения двух переменных. Если доходность двух активов отклоняется от средних значений в одну сторону, ковариация положительна; если в противоположные, ковариация отрицательна.
Понятие получило центральное значение в финансах после работы Гарри Марковица «Portfolio Selection» (The Journal of Finance, 1952), в которой впервые было формализовано, что риск портфеля определяется не только рисками отдельных активов, но и ковариациями между ними. До Марковица инвесторы интуитивно понимали, что «не стоит класть все яйца в одну корзину», но не имели математического аппарата для количественной оценки эффекта. Ковариация предоставила такой аппарат. В отличие от корреляции, которая нормализована и принимает значения от −1 до +1, ковариация выражается в абсолютных единицах (например, в квадратах процентных пунктов доходности) и зависит от масштаба переменных. Это делает её менее удобной для сравнения пар активов между собой, но необходимой для расчётов портфельного риска.
Формула и интерпретация знака
Ковариация двух случайных величин X и Y определяется как математическое ожидание произведения их отклонений от средних значений:
Cov(X, Y) = E[(X − μₓ)(Y − μᵧ)]
На практике используется выборочная формула:
Cov(X, Y) = Σ(Xᵢ − X̄)(Yᵢ − Ȳ) / (n − 1)
где X̄ и Ȳ обозначают выборочные средние, n — количество наблюдений, а деление на (n − 1) даёт несмещённую оценку.
Знак ковариации несёт прямой практический смысл для формирования портфелей.
Абсолютная величина ковариации показывает силу связи, но её трудно интерпретировать без контекста: ковариация 0,005 между дневными доходностями двух акций может означать сильную связь, а ковариация 500 между ежегодными выручками двух компаний в миллиардах рублей может оказаться слабой. Эта зависимость от масштаба и единиц измерения создаёт практическую проблему: нельзя сравнить ковариацию пары «Сбербанк / Газпром» с ковариацией пары «индекс МосБиржи / цена нефти», если доходности выражены в разных единицах или рассчитаны за разные периоды. Для сравнения силы связи между разными парами активов используется нормализованная версия: коэффициент, равный ковариации, делённой на произведение стандартных отклонений.
Роль в портфельном риске
Риск портфеля из нескольких активов не сводится к сумме рисков каждого из них. Формула дисперсии портфеля включает два компонента: взвешенные дисперсии отдельных активов и взвешенные ковариации между каждой парой. Для портфеля из n активов количество уникальных ковариационных пар составляет n(n−1)/2. Портфель из 10 активов содержит 45 ковариационных компонентов, из 50 активов — уже 1 225.
Именно ковариации объясняют, почему добавление рискованного актива может снизить общий риск портфеля. Если новый актив имеет отрицательную или низкую ковариацию с остальными, его колебания частично гасят колебания существующих позиций. На этом принципе строится вся современная портфельная теория. Марковиц получил за неё Нобелевскую премию в 1990 году, и ковариационная матрица по сей день лежит в основе алгоритмов оптимизации, которые ищут комбинацию активов с минимальным риском при заданной доходности. Результат такой оптимизации называется эффективной границей: кривой, на которой каждая точка представляет портфель с максимальной доходностью для данного уровня риска. Все портфели ниже этой границы неэффективны, потому что существует комбинация с тем же риском, но более высокой ожидаемой доходностью.
Во время финансовых кризисов ковариации между рисковыми активами резко возрастают. Активы, которые в спокойные периоды двигались независимо, начинают падать синхронно. Кризис 2008 года продемонстрировал это наглядно: ковариации между акциями, сырьём и недвижимостью выросли до уровней, при которых стандартные модели рассчитывали портфельный риск вдвое ниже реального. Диверсификация перестаёт работать именно тогда, когда она нужнее всего. Это ключевая уязвимость моделей, построенных на исторических ковариациях, и одна из причин, по которой стресс-тестирование портфеля при повышенных ковариациях между активами стало стандартной практикой в индустрии.
Расчёт на практике
Вычисление ковариации в реальных торговых системах требует решений по нескольким техническим параметрам.
Исходные данные: дневные логарифмические доходности, скорректированные на дивиденды и сплиты. Использование цен вместо доходностей приводит к искажениям из-за масштабной зависимости ковариации.
Длина окна: скользящее окно от 60 до 252 торговых дней. Короткое окно (60 дней) быстрее реагирует на изменения рыночного режима, но даёт статистически шумные оценки. Длинное окно (252 дня, торговый год) стабильнее, но медленнее адаптируется.
Частота пересчёта: для долгосрочных портфелей достаточно ежемесячного обновления ковариационной матрицы, для активных стратегий необходим еженедельный или даже ежедневный пересчёт.
Обработка выбросов: экстремальные значения доходности (обвалы, гэпы на открытии) могут искажать ковариацию на месяцы вперёд. Стандартная практика: винсоризация на уровне 1–5 перцентилей.
Экспоненциальное взвешивание: вместо равного веса для всех наблюдений свежим данным присваивается больший вес. Модели семейства EWMA (exponentially weighted moving average) с параметром затухания λ = 0,94–0,97 стали индустриальным стандартом после публикации методологии RiskMetrics банком JPMorgan в 1996 году.
Ковариационная матрица используется не только для расчёта портфельного риска, но и как входной параметр для оптимизации по показателям эффективности, таким как коэффициент Шарпа. Качество матрицы напрямую влияет на качество оптимизации: зашумлённые оценки ковариаций ведут к нестабильным весам и к портфелям, которые на бумаге оптимальны, а на практике проигрывают простым стратегиям равного распределения.
Ограничения и где ковариация не работает
Ковариация измеряет только линейную зависимость. Если два актива связаны нелинейно (например, золото растёт непропорционально сильнее при сильных обвалах рынка, чем падает при росте), ковариация эту связь не уловит или занизит. На нелинейных зависимостях строятся стратегии хедж-фондов, использующих опционы и структурные продукты, и для них стандартная ковариация малоинформативна. Нулевая ковариация не означает независимость: две переменные могут быть сильно связаны нелинейно и при этом иметь ковариацию ровно ноль.
«Проклятие размерности» усиливает проблему на больших портфелях. Ковариационная матрица для 500 активов содержит 124 750 уникальных параметров. Оценить их все надёжно по 252 торговым дням невозможно: шум в данных превышает сигнал. Факторные модели (3–5 общих факторов вместо полной матрицы) и методы регуляризации (shrinkage, графические модели) снижают размерность, но вводят модельный риск.
Нестабильность ковариаций во времени означает, что матрица, рассчитанная по данным последних 12 месяцев, может не отражать режим, который наступит завтра. Три подхода к этой проблеме:
Динамические модели (DCC-GARCH): оценивают изменение ковариаций день за день, адаптируясь к текущей волатильности
Режимные модели (Markov switching): допускают переключение между «спокойным» и «кризисным» состояниями с разными ковариационными структурами
Робастные оценки: вместо одной ковариационной матрицы используют набор сценариев и оптимизируют портфель для наихудшего из них
Каждый из подходов снижает одну проблему, но добавляет другую: сложность настройки, чувствительность к параметрам или вычислительные затраты.
Ковариация в контексте российского рынка
На МосБирже ковариации между секторами определяются несколькими доминирующими факторами, которые отличают российский рынок от развитых. Нефтегазовый сектор (Лукойл, Роснефть, Газпром) занимает более 40% индекса МосБиржи по весу, и его высокая зависимость от цен на нефть транслируется в повышенную ковариацию с металлургией и банковским сектором через общий макрофактор.
Для частного инвестора на МосБирже практический вывод прост: эффективная диверсификация требует выхода за пределы российских акций. Ковариации внутри индекса МосБиржи слишком высоки из-за концентрации в сырьевых секторах. Добавление ОФЗ, золота или (при доступности) иностранных активов снижает ковариацию портфеля с рублёвым фондовым риском.
После 2022 года доступ к иностранным инструментам для российских инвесторов ограничен, что сужает возможности снижения портфельных ковариаций и делает задачу построения сбалансированного портфеля сложнее, чем на рынках с полным набором инструментов. В этих условиях особое значение приобретают активы с низкой ковариацией к общему рынку: ОФЗ с фиксированным купоном, биржевое золото (GLDRUB), а также акции компаний внутреннего спроса, менее зависимых от экспортных цен. Ковариационная матрица, рассчитанная по данным 2022–2025 годов, существенно отличается от матриц предыдущего десятилетия, и полагаться на «исторические» оценки при построении портфеля на российском рынке сейчас опаснее, чем когда-либо.
